【過去問YN】R4(22)M5 山梨県公立高校入試 数学 大問６ 図形

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令和４年度 山梨県公立高等学校入学者選抜学力検査問題 数学 大問６

解答・解説

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解答

（１）$9\sqrt2$ cm　　（２）三角錐AEPQ：81cm³　三角錐RFPS：3 cm³　

（３）$\frac{21\sqrt{17}}{2}$ cm²　　（４）48cm³　

解説

解答

（１）$9\sqrt2$ cm　

解説　(1)

（1）△EPQで三平方の定理を利用する。

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解答

（２）三角錐AEPQ：81cm³　三角錐RFPS：3 cm³　

解説　(2)

下の図のように、三角錐AEPQは底面を△EPQ、高さAEとみて、

三角錐AEPQの体積は、$\frac{81}2$×6×$\frac13$＝81 cm³

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三角錐RFPSは底面を△FPS、高さRFとして考える。

PF＝3cm、∠EPS＝45°より、FS=3cmとなる。高さRFは△PFR∽△PEA(相似比1：3)よりRF＝2cmとなる。
よって三角錐RFPSの体積は、 $\frac92$×2×$\frac13$＝81 cm³cm³

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解答

（３）$\frac{21\sqrt{17}}{2}$ cm²　

解説　(3)

五角形ARSUTは、下の図のように △APQから△RPSと△TUQの2つ三角形を引いた差となる。

下の図のように、△APQはAP＝AQ＝$3\sqrt{13}$cm、PQ＝$9\sqrt2$cmの二等辺三角形になる。

高さAV＝$\frac{3\sqrt{34}}2$ cm となるので、

△APQ＝$9\sqrt2$×$\frac{3\sqrt{34}}2$×$\frac12$＝$\frac{27\sqrt{17}}2$ cm²

△APQ∽△RPS（相似比3：1）となるので、面積比は9：1で、
△RPS＝$\frac{27\sqrt{17}}2$×$\frac19$＝×$\frac12$＝$\frac{3\sqrt{17}}2$ cm²

五角形ARSUTは、下の図のように △APQから△RPSと△TUQの2つ三角形を引いた差となるので、
五角形ARSUT＝＝$\frac{27\sqrt{17}}2$ －$\frac{3\sqrt{17}}2$ ×2＝$\frac{21\sqrt{17}}2$ cm²

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解答

（４）48cm³　

解説　(4)

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図1のように、AJ＝BR＝CI＝DT＝4cmとなる点J,Iを辺AE、CG上にとる。辺RTは平面JRITにあり、辺RTとJIとの交点をMとする。

次に図2のように、四面体ARCTを平面AJICで分ける。RMは平面に垂直に交わる。
(※RMが立体の高さとして使う）

四面体ARCTを分けると、図3のように、三角錐R－ACMと三角錐T－ACMに分けれる。

底面積は△ACM、高さはRMで三角錐R－ACMの体積を求める。

■三角錐R－ACMの体積

　平面AEGCは下の図のようになる。

　　★三角錐R－ACMの底面積△ACM

　　 $6\sqrt2$×4×$\frac12$＝$12\sqrt2$ cm²

　　★三角錐R－ACMの高さRM

　　 $6\sqrt2$×$\frac12$＝$3\sqrt2$ cm

よって、四面体ARCTの体積は三角錐R－ACMが2つ分なので、

　 $12\sqrt2$×$3\sqrt2$×$\frac13$×2＝48 cm³

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本ページに掲載している入試問題および解答は、山梨県教育庁高校教育課の承認を得て掲載しています。

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正答率

山梨県教育委員会HP参照

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学力検査活用ガイドより

山梨県教育委員会HP　【学力検査活用ガイド】↓↓↓↓
https://www.pref.yamanashi.jp/documents/7061/r04kensakkkakatuyouguide.pdf
その他の教科、数学の他の大問の正答率、抽出調査・分析の概要等が確認できます。

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