【脳葉強化】『小学生で解ける面積の問題③』　ひらめきラボ《0016》　～高校入試での出題のされ方～

解説:　

下の図のように、点Aから辺EDに、点Cから辺BFにそれぞれ垂直な線を引きます。
その交点をP、Qとし、△APEと△CQFを切り取ります。

切り取った△APEと△CQFFを下の図のように辺AB、CDに重なる（接する）ように置きます。

上の右図で、四角形PP’QQ’は正方形になることがわかります。

【四角形PP’QQ’が正方形になる理由】
　四角形PP’QQ’において、
　∠P、∠P’、∠Q、∠Q’ともに90°で、
　PD＝AP’＝BQ＝CQ’・・・①
　PA＝P’B＝QC＝CQ’・・・②
　①、②より、
　PP’＝P’Q＝QQ’＝Q’P
　よって、正方形となります。

PQ’の長さがわかれば、正方形PP’QQ’の面積＝初めの図形の面積がわかります。

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PQ’の長さを求めるために、初めの図形にもどります。
下の左図のように、正方形の対角線の交点をO、点EとOを結んだ長さEOを求めます。
FOを結ぶと、線対称な図形なので、EO＝FOとなるので、EO=5cmとわかります。
EO＝EM＋MOで、MO＝DMより、
EM＋MD＝(EO＝)＝5cm

上の左の図の△EMDは、右の図の赤や緑の三角形と同じ図形です。
つまり、PP’＝EM+MD＝5cmとわかります。

よって、正方形PP’QQ’の面積＝初めの図形の面積＝5×5＝25cm²となります。

高校入試で出題されるなら

公立高校入試では出題されないと思いますが、公立中学で学習していれば、理解できる解法です。
私立高校入試では、出題されてもおかしくない問題ですね。
チャレンジしてみてください。
では、問題を見てみましょう。

問題

解答

解説

（1）・（2）
　下の図のように正方形の1辺をaとすると、正三角形の高さを求め、EFの長さで方程式を作れば、aの値を求めることができます。

（3）
　正方形・正三角形の面積をそれぞれ求め、（2）で求めたaの値を代入すれば求めることができます。