【脳葉強化】『○と□に入る数は？～数の不思議～』　ひらめきラボ《0033》　～ChatGPT vs Gemini vs Claude～

解説：

左側の部分(左辺)を計算すると、
10²＋11²＋12²=100＋121＋144＝365になります。

よって、○²＋□²＝365になります。

365より小さい平方数は19²より、その中で考えてみましょう。

19²＝361より、365－361＝4＝2²となります。
よって、○²＋□²＝365となる○と□は、19²＋2²＝365となるので、○＝19、□＝2（○＝2、□＝19）

同様にして、18²＝324で考えると、365－324＝41で自然数(正の整数)の平方にはできません。（6²＝36、7²＝49より、○²＝41になる整数はありません）

次に17²＝289で、365－289＝76で平方数ではない
16²＝256で、365－256＝109で平方数ではない
15²＝225で、365－225＝140で平方数ではない
14²＝196で、365－196＝169で13²になります。

よって、○²＋□²＝365となる○と□は、14²＋13²＝365となるので、○＝14、□＝13（○＝14、□＝13）
（13，14で折り返すので、これ以上小さい数字で考える必要はないですよね。）

よって、答えは、○＝19、□＝2（○＝2、□＝19）または、○＝14、□＝13（○＝14、□＝13）となります。

10²＋11²＋12²＝13²＋14²

10，11，12，13，14が並んでいますね。きれいな感じしませんか？
中3の三平方の定理で学習をしますが、3²＋4²＝5²というのもあります。

他にも、

21²＋22²＋23²＋24²＝25²＋26²＋27²
36²＋37²＋38²＋39²＋40²＝41²＋42²＋43²＋44²
55²＋56²＋57²＋58²＋59²＋60²＝61²＋62²＋63²＋64²＋65²
78²＋79²＋80²＋81²＋82²＋83²＋84²＝85²＋86²＋87²＋88²＋89²＋90²

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もっと詳しくは、こちらを参照ください。

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ChatGPT vs Gemini vs Claude

画像を読み込み「この問題の○と□に入る数字はいくつですか？」と聞いてみたところ、それぞれのAIの回答を紹介します。

【ChatGPTの回答】【Geminiの回答】【Claudeの回答】

ChatGPTの回答

バージョン：GPT-5

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画像の問題を一緒に考えましょう。

与えられた式は 10²+11²+12²=○²+□²　です。

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ステップ1：左辺の計算

10²=100,11²=121,12²=144　 100+121+144=365　

よって 365=○²+□²

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ステップ2：365を2つの平方数の和に分解

候補を探します。

• 19²=361。 365−361=4=2²

つまり 365=19²+2²

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答え

○=19,□=2

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👉 答えは 「○＝19、□＝2」 です。

ほかの組み合わせ（順序違い含む）は「2 と 19」だけですね。

思考時間: 14s

その通り、成り立ちます！
13²+14²=169+196=365 なので、10²+11²+12²=365=19²+2²=13²+14²

実は 365=5×73 で、
5=1²+2²,  73=3²+8²。
和の平方の積の公式（ブラフマグプタ–フィボナッチの恒等式）
(a²+b²)(c²+d²)=(ac±bd)²+(ad∓bc)²
を使うと
(1,2) と (3,8) から
(19,2) と (13,14) の2通りが得られます（順序違い除く）。

先ほど「2と19だけ」と言ってしまって失礼しました。両方が正解です。

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【ChatGPTの回答】【Geminiの回答】【Claudeの回答】

Geminiの回答

バージョン：2025.8月時点 (geminiはバージョンなどはない)

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はい、この問題の答えを導き出すための手順と答えは以下の通りです。

問題の解法

まず、与えられた等式の左辺を計算します。 10²+11²+12²=100+121+144=365

したがって、問題は以下のようになります。 365=○²+□²

これは、365を2つの平方数の和で表す問題です。365に近い平方数をいくつか試してみます。

• 10²=100
• 11²=121
• 12²=144
• 13²=169
• 14²=196
• 15²=225
• 16²=256
• 17²=289
• 18²=324
• 19²=361
• 20²=400

次に、これらの平方数から2つを選んで足し合わせ、365になる組み合わせを探します。 例えば、一番大きな数から試すと、

• 19²=361
  • 365−361=4
  • 4=2²

この組み合わせが、等式を満たします。

19²+2²=361+4=365

答え

10²+11²+12²=19²+2² であることから、○と□に入る数字の組み合わせは、19と2です。

※ ○と□のどちらが19でどちらが2でも正解です。

解の唯一性

フェルマーの2平方定理は、解が存在するかどうかを示しますが、解の組み合わせが何通りあるかまでは直接示しません。しかし、365 の素因数分解が 5×73 であり、4で割って1余る素数（5と73）が2つある場合、その解は本質的に1通りになります（ただし、順序を考慮しない場合）。

この事実から、365=○²+□² を満たす自然数の組み合わせは、(2,19) とその順序違いの (19,2) のみとなります。

したがって、19と2以外に答えはありません。

いいえ、○＝13、□＝14では成り立ちません。

13²+14² を計算してみましょう。

• 13²=169
• 14²=196
• 169+196=365

はい、確かに成り立ちます。

ご指摘の通り、10²+11²+12²=365 であり、また 13²+14²=365 となります。

したがって、問題の答えは、(2, 19) の組み合わせだけでなく、（13, 14） の組み合わせも正解となります。最初の回答で「19と2の組み合わせのみ」と断定したのは誤りでした。訂正してお詫びいたします。

まとめ

この問題の答えは、以下の2つの組み合わせが考えられます。

1. ○と□が2と19の組み合わせ
   • 2²+19²=4+361=365
2. ○と□が13と14の組み合わせ
   • 13²+14²=169+196=365

したがって、正解は 2と19 または 13と14 の組み合わせです。

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【ChatGPTの回答】【Geminiの回答】【Claudeの回答】

Claudeの回答

バージョン：Claude Sonnet 4

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この問題を解いてみましょう。

与えられた式は： 10² + 11² + 12² = ○² + □²

まず左辺を計算します：

• 10² = 100
• 11² = 121
• 12² = 144
• 合計：100 + 121 + 144 = 365

つまり、○² + □² = 365 となる整数の組み合わせを見つける必要があります。

365を2つの平方数の和で表せるかを調べてみます：

365 = 6² + 19²

• 6² = 36
• 19² = 361
• 36 + 361 = 397 ≠ 365

365 = 13² + 14²

• 13² = 169
• 14² = 196
• 169 + 196 = 365 ✓

確認：10² + 11² + 12² = 13² + 14² 100 + 121 + 144 = 169 + 196 365 = 365 ✓

したがって、○ = 13、□ = 14 （または ○ = 14、□ = 13）が答えです。

良い質問ですね！他の組み合わせも確認してみましょう。

365を2つの平方数の和で表す全ての可能性を系統的に調べてみます。

○² + □² = 365 で、○ ≤ □ と仮定して調べます：

○ = 1: 1² + □² = 365 → □² = 364 → √364 ≈ 19.08（整数でない） ○ = 2: 4 + □² = 365 → □² = 361 → □ = 19 ✓ ○ = 3: 9 + □² = 365 → □² = 356 → √356 ≈ 18.87（整数でない） ○ = 4: 16 + □² = 365 → □² = 349 → √349 ≈ 18.68（整数でない） … ○ = 13: 169 + □² = 365 → □² = 196 → □ = 14 ✓ ○ = 14: 196 + □² = 365 → □² = 169 → □ = 13（これは○ = 13, □ = 14と同じ）

確認してみると：

• 2² + 19² = 4 + 361 = 365 ✓
• 13² + 14² = 169 + 196 = 365 ✓

したがって、答えは2つあります：

1. ○ = 2, □ = 19 （または ○ = 19, □ = 2）
2. ○ = 13, □ = 14 （または ○ = 14, □ = 13）

どちらも正解です！

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【ChatGPTの回答】【Geminiの回答】【Claudeの回答】

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